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精英家教网如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．
分析：可以证明△BEC∽△DCF，证得∠ABD=60°，根据正弦定理就可以求出．
解答：证明：
BC∥AF
CD∥AE
?△BEC∽△DCF，
∴
BE
DC
=
BC
DF
∵DC=BC=BD
∴
BE
BD
=
BD
DF
．
∴△BED∽△DBF．
∴∠BED=∠DBM．
∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD=60°．
∴由正弦定理得：2R1=
BE
sin60°
，2R2=
DF
sin60°
．
∴R1•R2=
BE
2sin60°
•
DF
2sin60°
=
BE•DF
4sin260°
=
a2
3
．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及正弦定理的运用．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上的动点（与A，D不重合），F是CD上的动点，且AE+CF=4．
（1）求证：不论点E，F的位置如何变化，△BEF是正三角形；
（2）设AE=x，△BEF的面积是S，求S与x的函数关系式．
精英家教网如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为
 
．
精英家教网如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2
（2012•普陀区二模）如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于
π
3
π
3
（结果保留π）．
（2013•牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是
（
3
）n-1
（
3
）n-1
．

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