Question

如图，边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上的动点（与A，D不重合），F是CD上的动点，且AE+CF=4．
（1）求证：不论点E，F的位置如何变化，△BEF是正三角形；
（2）设AE=x，△BEF的面积是S，求S与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）连接BD，四边形ABCD是菱形得△ABD是正三角形（∠ABD=60°），再证出△ABE≌△DBF，得BE=BF，∠ABE=∠DBF，由此得出∠EBF=60°，问题得证；
（2）作EG⊥AB，利用勾股定理得出BE的长，再求正三角形△BEF的面积．

解答：（1）证明：
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∠ADC=120°，
∴△ABD是正三角形．
∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD，
又因AE+CF=4，DF+CF=4，
∴AE=DF，
而∠FDB=∠ADC-∠ADB=60°=∠DAB，
∴△AEB≌△DBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∵∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°
∴△BEF是正三角形．

（2）解：过E作EG⊥AB于点G，
∵AE=x，∠DAB=60°，
∴EG=

3

2

x，AG=

1

2

x，
∴BG=4-

1

2

x，
∴BE²=EG²+BG²=（

3

2

x）²+（4- 

1

2

x）²=x²-4x+16
作FH⊥EB垂足为点H，
S_△BEF=

1

2

BE•FH=

1

2

BE•

3

2

BE=

3

4

BE²=

3

4

（x²-4x+16）．

点评：此题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理和锐角三角函数．