Question

如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；连接AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为

 

．

Answer 1

分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC₁，AC₂的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．

解答：解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=

1

2

，
∴AM=

1- 1 4

=

3

2

，
∴AC=

3

，
同理可得AC₁=

3

AC=（

3

）²，AC₂=

3

AC₁=3

3

=（

3

）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（

3

）^n-1
故答案为（

3

）^n-1．

点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力．