Question

9．如图，四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法正确的是（　　）

• A． 四边形EFGH是矩形
• B． 四边形EFGH的周长是7
• C． 四边形EFGH的面积是24
• D． 四边形ABCD的面积是48

Answer 1

分析 利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四边形EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项CD是否正确；题目给出的数据求不出四边形EFGH的周长，所以选项B错误．

解答 解：
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，故选项A正确，符合题意；
∵AC=8，BD=6，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=24，故选项D错误，不符合题意；
∵四边形EFGH是矩形，且HG=$\frac{1}{2}$AC=4，HE=$\frac{1}{2}$BD=3
∴四边形EFGH的面积=3×4=12，故选项C错误，不符合题意；
∵EF=$\frac{1}{2}$AC=4，HE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴四边形EFGH的周长=2（3+4）=14，所以选项B错误，不符合题意，
故选A．

点评 本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．