Question

如图，等腰直角三角形ABD，点C是直角边AD上的动点，连接CB．现在将点C绕点A逆时针方向旋转90°得点E，再将点C绕点B顺时针方向旋转90°得点F．如果AD=BD=

2

，那么S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=

 

．（其中S_△AED表示△AED的面积）

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分别为M，N，由△ABD为等腰直角三角形，已知AD=BD=

2

，由勾股定理，得AB=2，设AC=x，则AE=AM=CM=

2

2

x，由此可分别表示S_△AED和S_△ABC，利用S△BFD=

1

2

BF×DN，根据∠NDB+∠DBN=90°，∠DBN+∠CBD=90°，可证∠NDB=∠CBD，可证△BDN∽△CBD，利用相似比将BF×DN=DN×BC进行转化，继而可求得S_△AED+S_△BFD-S_△ABC的值．

解答：解：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分别为M，N，
由旋转的性质可知AC=AE，BC=BF，
设AC=x，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=45°，
∴AE=AM=CM=AC•sin45°=

2

2

x，
又∵AD=BD=

2

，
∴AB=

AD2+BD2

=2，
∴S_△AED=

1

2

×AE×AD=

2

2

x，S_△ABC=

1

2

×AB×CM=

2

2

x，
∵∠DBC+∠DCB=90°，∠DBC+∠DBN=90°，
∴∠DCB=∠DBBN，
∵∠DNB=∠BDC=90°，
∴△BDN∽△CBD，
∴DN：BD=BD：BC，
∴DN×BC=BD²=2，
∴S_△BFD=

1

2

×BF×DN=

1

2

×DN×BC=1，
∴S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=

2

2

x+1-

2

2

x=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了旋转的性质，三角形面积的表示方法，相似三角形的判定与性质的运用．注意旋转前后对应角相等，对应边相等，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角．