Question

已知点P是正方形ABCD内一点，且点P到A，B，D的距离分别为1，2，

2

，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AP′B，过A作AN⊥BP′于N，得出等腰直角三角形APP′，求出PP′，求出直角三角形BPP′，求出等腰直角三角形ANP′，求出AN，根据勾股定理求出AB的值，即可求出正方形的面积．

解答：解：将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AP′B，则P′A=1，P′B=

2

，
则△APP′是等腰直角三角形，PP′=

2

，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′B²=(

2

)2+(

2

)  2=4，PB²=4，
∴PP′²+P′B²=PB²，
∴△PP′B是等腰直角三角形，
∴∠PP′B=90°，
过A作AN⊥BP′于N，
则∠AP′N=180°-90°-45°=45°，
即△ANP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AN=NP′=

2

2

，
由勾股定理得：AB²=AN²+BN²，
=(

2

2

)2+(

2

2

+

2

) 2，
=5，
∴正方形ABCD的面积是5．

点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，旋转的性质等知识点的应用，解此题的关键是正确作辅助线，本题具有一定的代表性，有一定的难度，对学生提出较高的要求．