Question

4．如图1，在?ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F．
（1）判断DE和DF的数量关系，并证明结论；
探究发现：
（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，求∠ACG的度数；
（3）如图3，若∠ABC=60°，FG∥DE，FG=DE，分别连接AC，CG．求∠ACG的度数．

Answer 1

分析 （1）由BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠FBC，根据平行线的性质得到∠FED=∠FBC，∠F=∠ABF，等量代换得到∠FED=∠F，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，由BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠FBC=45°，推出△EDF是等腰直角三角形，证得△AEG≌△CDG，根据全等三角形的性质得到AG=CG，推出△AGC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，延长BA，FG交于H，连接HC，得到四边形AHFD是平行四边形，证得△CBF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到BC=CF，于是得到平行四边形BCFH是菱形，通过△AHC≌△GFC，得到∠ACH=∠GCF，即可得到结论．

解答 解：（1）DE=DF，
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠FED=∠FBC，∠F=∠ABF，
∴∠FED=∠F，
∴DE=DF；

（2）证明：如图2，连接AG，DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC=45°，
∵∠ADC=90°，CF∥AB，
∴∠F=45°，∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∵G为EF的中点，
∴EG=DG=FG，DG⊥EF，
∵△ABE是等腰直角三角形，AB=DC
，∴AE=DC，∵∠DEF=∠GDF=45°，
∴∠AEG=∠CDG=135°，
在△AEG与△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=DG}\\{∠AEG=∠CDG}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CDG，
∴AG=CG，
∵DG⊥EF，
∴∠DGC-∠CGB=90°，
∵∠DGC=∠EGA，
∴∠EGA+∠CGB=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴∠ACG=45°；

（3）解：如图3，延长BA，FG交于H，连接HC，
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD是平行四边形，
∴DF=AH，
∵∠ABC=60°，BF平分∠ABC，
∴∠CBF=30°，∠BCD=120°，
∴∠CFB=30°，
∴△CBF是等腰三角形，
∴BC=CF，
∴平行四边形BCFH是菱形，
∵∠ABC=60°，
∴△BCH，△CHF全等的等边三角形，
∴CH=CF，∠CHA=∠CFG=60°，
∵DE=AH，FG=DE，DF=AH，
∴AH=GF，
在△AHC与△GFC中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=CF}\\{∠CHA=∠CFG}\\{AH=GF}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△GFC，
∴∠ACH=∠GCF，
∴∠ACG=∠ACH+∠HCG=∠GCF+∠HCG=∠HCF=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得四边形AHFD是平行四边形是解题的关键．