Question

7．阅读下列材料：如图（1），在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
（1）写出筝形的两个性质（定义除外）．
①∠BAC=∠DAC；②∠ABC=∠ADC．
（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
（3）如图（3），在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC和△ADC中，△ABC≌△ADC即可，
（2）先判断出∠AEB=∠AFD在得到△AEB≌△AFD（AAS）然后判断出平行四边形ABCD是菱形即可；
（3）先判断出△ABC≌△ADC．得到S_△ABC=S_△ADC．利用勾股定理BH²=AB²-AH²=26²-AH²．，BH²=CB²-CH²=25²-（17-AH）²．即可．

解答 解：（1）在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，
故答案为∠BAC=∠DAC，∠ABC=∠ADC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AEB=∠AFD．
∵AE=AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS）．
∴AB=AD，BE=DF．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BC=DC，
∴EC=FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）如图

∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴S_△ABC=S_△ADC．
过点B作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ABH中，BH²=AB²-AH²=26²-AH²．
在Rt△CBH中，BH²=CB²-CH²=25²-（17-AH）²．
∴26²-AH²=25²-（17-AH）²，
∴AH=10．
∴BH=24．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×17×24=204．
∴筝形ABCD的面积为408．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义．