Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．
（1）求证：PE=PB；
（2）若AP=2，求CE的长；
（3）当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求⊙P的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质得出∠A=∠PDA，进而得出∠PBE=∠PEB，求出即可；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（3）设BE的中点为QM，连接PM，AP=x，根据等腰三角形三线合一的性质得出PM⊥BE，由切线的性质可得出PM=BM，由此可得出结论．

解答：（1）证明：∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵∠EDC=∠PDA，∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（2）解：∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，

BC

EC

=

AB

DE

．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴

3

EC

=

5

1

，
解得：CE=

3

5

；

（3）解：设M为BE的中点，则PM⊥BE，
若⊙P的半径为x，
则PB=5-x，PM=（5-x）sin∠ABC=

4

5

(5-x)，
BM=（5-x）cos∠ABC=

3

5

(5-x)，
∵⊙P与⊙M外切，
∴

4

5

(5-x)=

3

5

(5-x)+x 
解得：x=

5

6

∴⊙P的半径为

5

6

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，得出△ABC∽△DEC是解题关键．