Question

已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=

1

2

FC；
（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；
（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求

EH

CF

的值．

Answer 1

考点：几何变换综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形中位线定理,正方形的性质

专题：压轴题

分析：（1）延长FE交AB于点Q，易证EF=QE，QB=FB，从而可以证到HE=

1

2

AQ，AQ=CF，进而得到HE=

1

2

CF．
（2）延长EH交AB于点N，易证△ANH≌△FEH，则有NH=EH，AN=EF，进而可以证到BH=

1

2

EN，只需求出EN就可求出BH的值．
（3）过点A作EF平行线交EB的延长线于点T，延长EH交AT于S，连接SB、EC，易证△ASH≌△FEH，则有AS=EF，SH=EH．进而可以证到△SAB≌△EBC，则有SB=EC，∠ASB=∠BEC．由∠ASB=∠BEC可以推出∠SBE=∠CEF，从而可以证到△SBE≌△CEF，则有SE=CF，就可得到EH=

1

2

SE=

1

2

CF．

解答：解：（1）证明：延长FE交AB于点Q，如图1，
∵四边形EFBG是正方形，
∴EF=EB，∠EFB=∠EBF=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠BQF=∠QBE=45°．
∴QE=EB．
∴QE=EF．
∵AH=FH，
∴HE=

1

2

AQ．
∵∠BQF=∠BFQ=45°，
∴BQ=BF．
∵AB=BC，
∴AQ=CF．
∴HE=

1

2

CF．
（2）延长EH交AB于点N，如图2，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF∥BG，EF=EB=BG=2．
∵EF∥AG，
∴∠FEH=∠ANH，∠EFH=∠NAH．
在△ANH和△FEH中，

∠FEH=∠ANH ∠EFH=∠NAH AH=FH

∴△ANH≌△FEH．
∴NH=EH，AN=EF．
∵AB=5，AN=EF=2，
∴BN=AB-AN=3．
∵∠NBE=90°，BE=2，BN=3，
∴EN=

22+32

=

13

．
∵∠NBE=90°，EH=NH，
∴BH=

1

2

EN=

13

2

．
∴BH的值为

13

2

．
（3）过点A作EF平行线交EB的延长线于点T，
延长EH交AT于S，连接SB、EC，如图3，
∵EF∥AS，
∴∠FEH=∠ASH，∠EFH=∠SAH．
在△ASH和△FEH中，

∠FEH=∠ASH ∠EFH=∠SAH AH=FH

∴△ASH≌△FEH．
∴AS=EF，SH=EH．
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，∠FEB=90°．
∴AS=BE．
∵EF∥AS，
∴∠ATE=∠FEB=90°．
∴∠TAB+∠ABT=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABT=90°．
∴∠TAB=∠CBE．
在△SAB和△EBC中，

AB=BC ∠SAB=∠EBC AS=BE

∴△SAB≌△EBC．
∴SB=EC．∠ASB=∠BEC．
∵∠ATB=90°，
∴∠TSB+∠TBS=90°．
∴∠ASB+∠SBE=360°-90°=270°．
∵∠BEC+∠CEF=360°-90°=270°，
∴∠SBE=∠CEF．
在△SBE和△CEF中，

SB=EC ∠SBE=∠CEF BE=EF

．
∴△SBE≌△CEF．
∴SE=CF．
∵SH=EH，
∴EH=

1

2

SE=

1

2

CF．
∴

EH

CF

的值为

1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，综合性非常强，由一定的难度．而利用点H为AF的中点构造全等三角形是解决第三小题的关键．