Question

3．如图，直线l₁的解析表达式为：y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A，B，点B的坐标为（3，-$\frac{3}{2}$）直线l₁，l₂交于点C．
（1）求直线l₂的函数关系式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，把A与B的坐标代入求出k与b的值，即可确定出l₂的解析式；
（2）由A与D坐标求出AD的长，C纵坐标的绝对值为高，求出三角形ADC面积即可；
（3）根据直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，得到P纵坐标等于C纵坐标的绝对值，将C纵坐标绝对值代入l₂的解析式求出横坐标，确定出P坐标即可；
（4）在坐标平面内存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，分别求出H坐标即可．

解答 解：（1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（3，-$\frac{3}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=-6，
则直线l₂的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6；
（2）对于直线l₁：y=-3x+3，令y=0，得到x=1，即D（1，0），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=\frac{3}{2}x-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即C（2，-3），
∵A（4，0），C（2，-3），D（1，0），
∴AD=3，C纵坐标的绝对值为3，
则S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（3）由题意得到P纵坐标为3，
把y=3代入l₂的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6，得：x=6，
则点P的坐标为（6，3）；
（4）存在，如图所示：

当四边形ADCH₁为平行四边形时，可得CH₁=AD=3，此时H₁（5，-3）；
当四边形ACH₂D为平行四边形时，可得CH₂=AD=3，此时H₂（-1，-3）；
当四边形ACDH₃为平行四边形时，过H₃作H₃E⊥x轴，过C作CF⊥x轴，
∵△CFD≌△H₃EA，
∴H₃E=CF=3，AE=DF=1，此时H₃（3，3）；
综上，H的坐标为（5，-3）或（-1，-3）或（3，3）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，两个一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．