Question

2．已知函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；
（2）若它是一个二次函数，假设n＞-1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．

Answer 1

分析 认真审题，首先根据我们所学过的三类函数进行分析，并分类讨论，可得出第一题的答案，再根据二次函数的性质，进行分析可得出第二问的答案．

解答 解：（1）①当m=1，n≠-2时，函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，
∵当y=0时，（n+1）x^m+mx+1-n=0，∴x=$\frac{1-n}{n+2}$，
∴函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）与x轴有交点；
②当m=2，n≠-1时，函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）是二次函数，
当y=0时，y=（n+1）x^m+mx+1-n=0，
即：（n+1）x²+2x+1-n=0，
△=2²-4（1+n）（1-n）=4n²≥0；
∴函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）与x轴有交点；
③当n=-1，m≠0时，函数y=（n+1）x^m+mx+1-n是一次函数，当y=0时，x=$\frac{n-1}{m}$，
∴函数y=（n+1）x^m+mx+1-n（m，n为实数）与x轴有交点；

（2）①假命题，若它是一个二次函数，
则m=2，函数y=（n+1）x²+2x+1-n，
∵n＞-1，∴n+1＞0，
抛物线开口向上，
对称轴：-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{2}{2（n+1）}$=-$\frac{1}{n+1}$＜0，
∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，
②当x=1时，y=n+1+2+1-n=4．
当x=-1时，y=0．
∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．

点评 本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，以及二次函数的性质，是一道综合题目，在草纸上画出草图，根据数形结合的思想进行解答是解题的关键，注意总结．