Question

2．如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE是⊙O的直径，连接BE、BD，P为⊙O外一点，连接PA，若∠AEB=40°，AE=12．
（1）若∠PAB=∠ADB，求证：PA为⊙O的切线；
（2）若∠BDC=20°，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠PAB=∠AEB，∠ABE=90°，根据余角的性质得到PA⊥AE，由切线的性质即刻得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=∠AEB=40°，由圆内接四边形的性质即刻得到结论．

解答 （1）证明：∵∠AEB=∠ADB，∠PAB=∠ADB，
∴∠PAB=∠AEB，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠PAB+∠BAE=90°，
∴PA⊥AE，
∴PA为⊙O的切线；

（2）解：∵∠ADB=∠AEB=40°，
∵∠BDC=20°，
∴∠ADC=60°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°-∠ADC=120°．

点评 本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．