Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OA于D，G，交OB于点E，连接DE并延长DE交AB于F，且DE⊥AB
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若DE=2EF，AB=4

3

，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OE，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过O点作OH⊥ED于H，则EH=DH，由E=2FE，得到DH=

1

3

DF，又因为OH∥BA，根据平行线分线段成比例定理得到DH：DF=DO：DA，AO=2OD，则OB=2OC，得到∠B=30°，而BC=

1

2

AB=2

3

，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OC=

3

3

BC=2，然后根据三角形和扇形的面积公式利用S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形OEG计算即可．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：过O点作OH⊥ED于H，如图，
∵OE=OD，
∴EH=DH，
∵ED=2EF，
∴DH=

1

3

DF，
而DF⊥AB，
∴OH∥BA，
∴DH：DF=DO：DA，
∴AO=2OD，
∴OB=2OC，
∴∠B=30°，∠COB=60°
而BC=

1

2

AB=2

3

，
∴OC=

3

3

BC=2，
∴S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形OEG
=

1

2

•4

3

•2-

120•π•22

360

=4

3

-

4

3

π．

点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了扇形的面积公式以及三角形相似的判定与性质．