Question

20．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长4和6，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可作M关于AC的对称点E，再连接EN，利用菱形的性质计算出EN的长，EN就是PM+PN的最小值．

解答 解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN、BD，则EN就是PM+PN的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=DC，AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=$\frac{1}{2}$BD=3，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE=AM，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN=AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴EN=AB=$\sqrt{13}$，
∴PM+PN的最小值为$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 此题主要考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．关键是掌握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分．