Question

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线相交于点O，过O作AB的平行线交两腰于点M，N．求证：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{2}{MN}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△DOM∽△DBA，△CON∽△CBA根据相似三角形的性质得到$\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{BD}$，$\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}$，推出ON=OM，根据相似三角形的性质得到$\frac{OM}{CD}=\frac{AO}{AC}$，两式相加得到$\frac{ON}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{OA}{AC}$=1，根据等式的性质即可得到结论．

解答 解：∵AB∥CD∥MN，
∴△DOM∽△DBA，△CON∽△CBA
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{BD}$，$\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{OD}{DB}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}$，
∴ON=OM，
∵AB∥CD∥MN，
∴△AMO∽△ADC，
∴$\frac{OM}{CD}=\frac{AO}{AC}$，
∴$\frac{ON}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{OA}{AC}$=1，
∵ON=OM=$\frac{1}{2}$MN，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{2}{MN}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．