Question

如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

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∠ABC（0°＜∠CBE＜∠45°），求证：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：把△CBE逆时针旋转90°，根据已知条件证明DE=DE′，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，
∵∠DBE=

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∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=

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∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，

BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD

，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
∵DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．

点评：本题考查的是图形的旋转及勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．题目的综合性较强，难度不小．