Question

直线l经过点D（

4

3

，0），与二次函数y=

1

2

x²相交于点A，B，连接AO，BO，三角形AOB的外接圆圆心在线段AB上，试求外接圆的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：作AC⊥x轴于C，BE⊥x轴于E，如图，利用二次函数图象上点的坐标特征，设A（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²），设直线AB的解析式为y=mx+n，把D（

4

3

，0）代入得n=-

4

3

m，则直线AB的解析式表示为y=mx-

4

3

m，再把A（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²）分别代入y=mx-

4

3

m，接着消去m得到

1 2 a2

a- 4 3

=

1 2 b2

b- 4 3

，化简后得到4（a+b）=3ab；由于三角形AOB的外接圆圆心在线段AB上，即AB为其外接圆的直径，根据圆周角定理得到∠AOB=90°，再证明Rt△ACO∽Rt△OEB，利用相似比可得到
ab=-4，加上4（a+b）=3ab，则可得到a+b=-3，于是解得a=-4，b=1，所以A（-4，8），B（1，

1

2

），然后利用两点间的距离公式计算出AB，从而得到三角形AOB的外接圆的半径．

解答：解：作AC⊥x轴于C，BE⊥x轴于E，如图，设A（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把D（

4

3

，0）代入得

4

3

m+n=0，则n=-

4

3

m，则直线AB的解析式表示为y=mx-

4

3

m，
把A（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²）分别代入y=mx-

4

3

m得

1

2

a²=ma-

4

3

m，

1

2

b²=mb-

4

3

m，
∴

1 2 a2

a- 4 3

=

1 2 b2

b- 4 3

，
∴4（a+b）=3ab，
∵三角形AOB的外接圆圆心在线段AB上，即AB为其外接圆的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOE=90°，
而∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BOE，
∴Rt△ACO∽Rt△OEB，
∴AC：OE=OC：BE，即

1

2

a²：b=-a：

1

2

b²，
∴ab=-4，
∴a+b=-3，
∴a=-4，b=1，
∴A（-4，8），B（1，

1

2

），
∴AB=

(1+4)2+( 1 2 -8)2

=

5 13

2

，
∴三角形AOB的外接圆的半径为

5 13

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、一次函数图象和二次函数图象上点的坐标特征；会利用相似比得到线段之间的关系和利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．