Question

14．已知关于x的方程kx²-2x+3=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）k为何值时，方程的两根满足x₁=3x₂？

Answer 1

分析 （1）由方程kx²-2x+3=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0，且△＞0，即2²-4•k•3＞0，然后解不等式求出它们的公共部分即可利用一元二次方程根与系数的关系可得；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{3}{k}$，再根据x₁=3x₂，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．

解答 解：（1）∵x的方程kx²-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＞0，即2²-4•k•3＞0，解得k＜$\frac{1}{3}$，
∴k的取值范围为：k＜$\frac{1}{3}$且k≠0．

（2）由根与系数的关系可得：
x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{3}{k}$，
当x₁=3x₂，
分别代入上面两个式子，消去x₁和x₂，整理得：4k²-k=0，解得k=0或k=$\frac{1}{4}$，
当k=0时，显然不合题意，
当k=$\frac{1}{4}$时，其判别式△=1≥0，
所以当k=$\frac{1}{4}$时，方程两根之比为方程的两根满足x₁=3x₂．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．