Question

2．设直线y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{{\sqrt{2}}}{n+1}$（n为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n（n=1，2，…，2012），则S₁+S₂+…+S₂₀₁₂的值为$\frac{2012}{2013}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、S_n，就发现规律：S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，然后求其和即可求得答案．注意$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：∵当n=1时，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时，A（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
同理可得，S₂=$\overline{\frac{1}{2}}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{2×3}$，
…，
∴S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$
=1-$\frac{1}{2013}$
=$\frac{2012}{2013}$．
故答案为：$\frac{2012}{2013}$．

点评 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意找出规律是解答此题的关键．