Question

6．阅读材料：若m²-2mn+2n²-6n+9=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-6n+9=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-6n+9）=0∴（m-n）²+（n-3）²=0，∴（m-n）²=0，（n-3）²=0，∴n=3，m=3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x²-2xy+2y²+8y+16=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-12a-16b+100=0，求△ABC的最大边c可能是哪几个值？

Answer 1

分析 （1）将x²-2xy+2y²+8y+16=0变形为（x-y）²+（y+4）²=0，再根据非负数的性质求出x=-4，y=-4，代入xy，计算即可；
（2）将a²+b²-12a-16b+100=0变形为（a-6）²+（b-8）²=0，根据非负数的性质求出a=6，b=8，再利用三角形三边关系求出最大边c的取值范围，进而求解即可．

解答 解：（1）∵x²-2xy+2y²+8y+16=0，
∴（x²-2xy+y²）+（y²+8y+16）=0，
∴（x-y）²+（y+4）²=0，
∴（x-y）²=0，（y+4）²=0，
∴x=-4，y=-4，
∴xy=-4×（-4）=16；

（2）∵a²+b²-12a-16b+100=0，
∴（a²-12a+36）+（b²-16b+64）=0，
∴（a-6）²+（b-8）²=0，
∴（a-6）²=0，（b-8）²=0，
∴a=6，b=8，
∵△ABC的最大边是c，
∴8＜c＜14，
∵c是正整数，
∴c可能是9，10，11，12，13．

点评 本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边关系定理，熟记完全平方公式是解题的关键．