题目内容
10．
已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限的点A的上方），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标；
（3）若P是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）作PM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，$\frac{8}{a}$），根据正比例函数与反比例函数的对称性即可得出四边形APBQ为平行四边形，结合四边形面积为24以及三角形的面积公式即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出a值，将其代入点P的坐标中即可得出结论；
（3）由（2）得出周长为2a+$\frac{16}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{16}{a}}$=8$\sqrt{2}$，且在2a=$\frac{16}{a}$，即a=±2$\sqrt{2}$时取得最小值，据此可得答案．
解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x中x=4时，y=2，即点A（4，2），
将点A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=8；
（2）作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图，设P点坐标为（a，$\frac{8}{a}$），
∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S△OPA=$\frac{1}{4}$S平行四边形APBQ=$\frac{1}{4}$×24=6，
∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，
∴8+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）=4+6+4，
整理得a2+6a-16=0，解得a1=2，a2=-8（舍去），
∴P点坐标为（2，4）．
（3）由（2）知四边形PMON的周长为2a+$\frac{16}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{16}{a}}$=8$\sqrt{2}$，
且在2a=$\frac{16}{a}$，即a=±2$\sqrt{2}$时，周长取得最小值8$\sqrt{2}$，
∵点P在反比例函数第一象限分支上，
∴a=2$\sqrt{2}$，此时点P的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的判定，解题的关键是根据平行四边形的判定及割补法求面积得出关于a的方程、利用完全平方式的非负性得出最值是关键．
阅读快车系列答案
如图，光线AB经过三次反射后，DE与AB平行，若∠ABC=120°，∠CDE=20°，则∠BCD的度数是80°．
如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC．完成下面推理过程：
如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”．| 课题：测量古塔的高度 | ||
| 小明的研究报告 | 小红的研究报告 | |
| 图示 |  |  |
| 测量方案与测量数据 | 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． | 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°． |
| 参考数据 | sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 | sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，$\sqrt{2}$≈1.41 |
| 计算古塔高度 （结果精确到0.1m） | 30×tan35°+1.6≈22.6（m） | |
（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；
（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为8.4m．
| A． | ±2 | B． | -$\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $±\sqrt{2}$ |