Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在AB中点，AE⊥CD于点M，
（1）求证：△ACM∽△BAC；
（2）若2CE=BE，CD=2

3

，求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到∠DAC=∠DCA，结合垂直可证得△ACM∽△BAC；
（2）由（1）可得到∠CAM=∠B，可证得△ACE∽△BCA，可得到AC和BC之间的关系，再结合条件利用勾股定理得到AC和BC之间的关系，可求得AC．

解答：（1）证明：
∵D为AB中点，且∠ACB=90°，
∴DA=DC，
∴∠ACM=∠BAC，
∵AE⊥CD，
∴∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△BAC；
（2）解：由（1）可知△ACM∽△BAC，
∴∠CAM=∠B，且∠ACE=∠BCA，
∴△ACE∽△BCA，
∴

CE

AC

=

AC

BC

，又BC=2CE，
∴AC²=

1

2

BC²，即BC²=2AC²，
∵CD=2

3

，
∴AB=2CD=4

3

，
又AC²+BC²=AB²，
∴3AC²=48，
∴AC=4．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似三角形可得到角相等，可为证明相似寻找条件，这也是解题过程中的常用思路，注意勾股定理的应用．