Question

2．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．
（1）点C的坐标为：（n，m+n）（用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．

Answer 1

分析 （1）过C点作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；
（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，根据全等三角形的性质即可得到BM=BN；
（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．

解答 （1）解：过C点作CE⊥y轴于点E，
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
在△AOB与△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AOB}\\{∠CBE=∠BAO}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴CE=OB=n，BE=OA=m，
∴OE=OB+BE=m+n，
∴点C的坐标为（n，m+n）．
故答案为：（n，m+n）；
（2）证明：∵△AOB≌△BEC，
∴BE=OA=OP，CE=BO，
∴PE=OB=CE，
∴∠EPC=45°，
∠APC=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CBN}\\{∠1=∠2}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM=BN；
（3）证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，
∴AD=AC，AG=AC，
∴AD=AG，
∵∠1=∠5，∠1=∠6，
∴∠5=∠6，
在△DAH与△GAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠5=∠6}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△DAH≌△GAH（SAS），
∴D，G关于x轴对称．

点评 考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：全等三角形的判定和性质，关于直线对称的性质．关键是AAS证明△AOB≌△BEC，ASA证明△ABM≌△CBN，SAS证明△DAH≌△GAH．