Question

7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，已知点A（a，0）、B（0，b）（a＞0，b＞0）和⊙M，AB为⊙M的直径．
（1）若a=6，b=8，写出点M的坐标；
（2）若抛物线y=kx²-10kx+c的顶点为M（m，12），且抛物线经过点A．
①求抛物线的解析式
②若此抛物线的对称轴上的点P满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）M为AB中点，直接求出即可；
（2）先用公式算出抛物线对称轴，从而确定M点坐标，根据抛物线对称性确定原点在抛物线线上，从而确定c，再将M点代入解析式即可确定k；
（3）由于AB是直径，那么根据直径所对的圆周角是90度可知对称轴与圆的交点即是满足要求的P点，另外分别过A、B两点作AB的垂线与对称轴的交点也是满足要求的P点，所以共四个点．

解答 解：（1）若a=6，b=8，则A（6，0），B（0，8），
∴M（3，4）；
（2）∵A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
∴∠AOB=90°，
∵AB为⊙M的直径，
∴原点O在⊙M上，
抛物线y=kx²-10kx+c的对称轴为x=-$\frac{-10k}{2k}$=5，
∴M（5，12），
∵原点O在⊙M上，直线x=5经过圆心且垂直于x轴，
∴点O、A关于直线x=5对称，
∵抛物线经过点A，
∴点O是抛物线与x轴的另一个交点，
∴c=0，
把点M（5，12）代入y=kx²-10kx解得：k=-$\frac{12}{25}$，
∴y=-$\frac{12}{25}$x²+$\frac{24}{5}$x；
（3）设抛物线对称轴与圆交于点P，连接BP、AP，如图，

∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∵M（5，12），
∴A（10，0），B（0，24），AB=26，
∴P的从标为（5，25）或（5，-1）；
过点B作BP垂直BA交抛物线对称轴于点P，
∵直线AB的解析式为：y=-$\frac{12}{5}$x+24，
∴BP的解析式为y=$\frac{5}{12}$x+24，
∴P点的坐标为（5，$\frac{313}{12}$）；
过点作AP垂直AB交抛物线对称轴于点P，
同理可求得P点坐标为（5，-$\frac{25}{12}$）．
综上所述，满足要求的P点坐标为：（5，25）、（5，-1）、（5，$\frac{313}{12}$）、（5，-$\frac{25}{12}$）．

点评 本题考查了勾股定理、中点坐标公式、待定系数法求二次函数解析式、抛物线对称轴公式、圆的基本性质、分类讨论等重要知识点，有一定综合性，难度中等．第（2）问利用对称性确定抛物线过原点是关键；第（3）问分类讨论，不要漏解．