Question

2．已知点A、B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a、b（a＞0，b＞O）．若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，则当$\frac{b}{a}$是整数时，满足条件的整数k的值共有2个．

Answer 1

分析 根据题意，可以设A（a，a），B（b，8b），据此列出关于a、b的方程组，然后通过解方程组知：（a-b）k=a-8b；从而用$\frac{b}{a}$表示出k；再利用换元法（设$\frac{b}{a}$=t）以及整数的定义求得k值．

解答 解：∵点A，B分别在一次函数y=x与y=8x的图象上，
∴设A（a，a），B（b，8b），则有$\left\{\begin{array}{l}{ak+m=a}\\{bk+m=8b}\end{array}\right.$，
消去m得：（a-b）k=a-8b，
∵当a=b时，a=b=0与题意不符合，
∴a≠b，且k=$\frac{a-8b}{a-b}$=$\frac{1-\frac{8b}{a}}{1-\frac{b}{a}}$；
设$\frac{b}{a}$=t，则
k=$\frac{1-8t}{1-t}$=$\frac{8t-1}{t-1}$=$\frac{8（t-1）+7}{t-1}$，即k=8+$\frac{7}{t-1}$；
∵$\frac{b}{a}$是整数，a＞0，b＞0，t-1≠0，
∴t是整数，且t＞0，t≠1；
又∵k为整数，
∴t-1=7或t-1=1，
∴t=8或t=2，
∴k=9或k=15．
故答案为2．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式的知识，解得该题时，需要讨论a与b的数量关系，以防出现增根．