Question

6．已知△ABC中，AB=AC，占M在线段AC上（不与C重合），BM延长线与过点C的直线交于D，连接AD，∠MAD=∠DBC，AE⊥BM于E．
（1）如图1，当M在线段AC上时，求证：BD-CD=2DE．
（2）如图2，当M在线段AC的延长线上时，∠ABC=45°，BD=7，AE=4，过点A作CD的垂线，垂足是F，求线段CF的长．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=ED，连接AF．AE⊥FD，得到AF=AD，∠AFD=∠ADF．再证明△BAF≌△CAD（SAS），得到BF=CD．所以BD-CD=BD-BF=DF=2DE．
（2）由已知条件可知△ABC是等腰直角三角形，证明A，B，C，D四点共圆，求出DE=AE=4，AB=AC=5，由AF⊥CD，又A，B，C，D四点共圆，得到∠ACF=60°，所以CF=2.5，．

解答 解：（1）如图，在EB上截取EF=ED，连接AF．AE⊥FD，则AF=AD，∠AFD=∠ADF．

∵∠MAD=∠DBC，∠AMD=∠BMC．
∴∠BCM=∠ADM=∠AFD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCM=∠AFD，
即∠DBC+∠ABF=∠BAF+∠ABF．
∴∠DBC=∠BAF=∠DAC．
在△BAF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAF=∠DAC}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAD（SAS），
∴BF=CD．
∴BD-CD=BD-BF=DF=2DE．
（2）如图2，

∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠MAD=∠DBC，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADE=∠ACB=45°，
∵∠AEB=∠AED=90°，
∴DE=AE=4，
∴BE=BD-DE=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=5，
∵AF⊥CD，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACF=60°，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=2.5．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．