Question

6．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．求证：
（1）OD=CF；
（2）四边形ODFC是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明OD=CF，只要证明△ODE≌△FCE（ASA）即可．
（2）首先证明四边形ODFC是平行四边形，再由OD=OC即可推出四边形ODFC是菱形．

解答 证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠DOE=∠CFE，
∵E是CD的中点，
∴CE=DE
在△ODE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DOE=∠CFE\\ CE=DE\\∠DEO=∠CEF\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△FCE（ASA）
∴OD=CF．

（2）由（1）知OD=CF，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住矩形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．