Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D在同一直线上，连接AD，若AB=$\sqrt{3}$，则sin∠CAD=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先解等腰直角三角形ABC，得出BC=AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{6}$．再解Rt△ABD，得出AD=2AB=2$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{3}$AB=3，那么CD=BD-BC=3-$\sqrt{3}$．过C点作CE⊥AD于E．根据S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CE=$\frac{1}{2}$CD•AB，求出CE=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，然后在Rt△AEC中利用正弦函数的定义即可求出sin∠CAD的值．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=$\sqrt{3}$，
∴BC=AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{6}$．
∵在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴AD=2AB=2$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{3}$AB=3，
∴CD=BD-BC=3-$\sqrt{3}$．
过C点作CE⊥AD于E．
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CE=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴CE=$\frac{CD•AB}{AD}$=$\frac{（3-\sqrt{3}）×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠CAD=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，锐角三角函数的定义，作出辅助线并且求出CE的长是解题的关键．