Question

14．已知如图，正方形ABCD中，AD=4，点E在CD上，DE=3CE，F是AD上异于D的点，且∠EFB=∠FBC，则tan∠DFE=$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 根据∠EFB=∠FBC，延长EF，BC相交于T，得到等腰△TBF，连接点T和MB的中点O，由△BAF∽△TOB，得到BF²=2AF•BT，设CT=k，由DF∥CT，得$\frac{DF}{CT}$=$\frac{DE}{EC}$=3，得出FD=3k，列出方程求出k，即可求出∠DFE的正切．

解答 解：如图：延长EF交BC的延长线于T，设FB的中点为O，连TO，则OT⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB=4，∠D=ABC=∠A=90°，
∵∠ABF+∠OBT=90°，
∠OTB+∠OBT=90°，
∴∠ABF=∠OTB，则△BAF∽△TOB，
∴$\frac{AF}{OB}$=$\frac{BF}{BT}$，
∵OB=$\frac{1}{2}$BF，
∴BF²=2AF•BT，
设CT=k，
∵CD=AD=4，DE=3EC，
∴DE=3，EC=1，
∵DF∥CT，
∴$\frac{DF}{CT}$=$\frac{DE}{EC}$=3，
∴DF=3k，AF=4-3k，BT=4+k，
∴4²+（4-3k）²=2×（4-3k）（4+k），
整理得到：15k²-8k=0，
∴k=$\frac{8}{15}$或0（舍弃）．
∴tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{3k}$=$\frac{1}{k}$=$\frac{15}{8}$．
故答案为$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造等腰三角形，利用相似三角形，构建方程解决问题，属于中考常考题型．