Question

19．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE、BE．作BF⊥AE于点F．
（1）求证：BF=AD；
（2）若EC=$\sqrt{2}$-1，∠FEB=67.5°，求扇形ABE的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得出AB∥DC，∠D=90°，再利用全等三角形的判定得出△ABF≌△ADE进而得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠AEB=∠ABE=67.5°，由三角形的内角和得到∠EAB=45°，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AD=AE，根据等腰直角三角形的性质列方程得到AE=2，于是得到结论．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，
∴∠AED=∠FAB，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠D=90°，
由作图可知，AB=AE，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFB}\\{∠AED=∠FAB}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴BF=AD；

（2）解：∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=67.5°，
∴∠EAB=45°，
∴∠DEA=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，
设AE=x，则DE=x-$\sqrt{2}$+1，
∴x=$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$+1），
∴x=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∴扇形ABE的面积=$\frac{45×π×（{\sqrt{2}）}^{2}}{360}$=$\frac{1}{4}$π．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，扇形的面积的计算，得出△ABF≌△ADE是解题关键．