Question

4．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD的边长为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 5
• C． 5$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接CN、DM、AC，根据轴对称的性质可得CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，根据正方形的四条边都相等可得AD=CD，然后求出AD=DM，根据等边对等角可得∠DAM=∠DMN，从而得到∠DCN=∠DAM，再求出∠ACN+∠CAN=90°，判断出△ACN是直角三角形，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据正方形的边长等于对角线的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍求解．

解答 解：如图所示，连接CN、DM、AC，
∵点C关于直线DE的对称点为M，
∴CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，
在正方形ABCD中，AD=CD，
∴AD=DM，
∴∠DAM=∠DMN，
∴∠DCN=∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN=∠BCD-∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，
∴∠ANC=180°-90°=90°，
∴△ACN是直角三角形，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴正方形ABCD的边长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×5=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边对等角的性质，勾股定理，作辅助线构造出等腰三角形与直角三角形是解题的关键，难点在于把AN、MN的长度以及正方形的对角线组成直角三角形．