Question

11．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），C（3，0），
（1）①作线段AB，使得AB、AC关于y轴对称，并直接写出点B的坐标；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一定角度，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请作出线段CD，并直接写出点D的坐标；
（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．

Answer 1

分析 （1）①如图1，画出线段AB，根据等腰三角形三线合一的性质得点B的坐标；
②如图2，证明△ACB≌△CAD（AAS），则AD=BC=6，得点D的坐标；
（2）先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分得：E是AC的中点，根据中点坐标公式得出点E的坐标，由直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，可知：直线y=kx一定过点E，可求得k的值．

解答 解：（1）①如图1，点B的坐标为（-3，0）；

②如图2，∵A（0，4），C（3，0），
∴OA=4，OC=3，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
同理得：AB=5，
由旋转得：CD=AC=5，
∴AB=CD=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠CAD=∠ADC，
∵AD∥x轴，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADC，
∴△ACB≌△CAD（AAS），
∴AD=BC=6，
∴D（6，4）；
（2）如图3，连接BD交AC于E，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE，
∵A（0，4），C（3，0），
∴E（$\frac{3}{2}$，2），
∵直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，
∴直线y=kx过点E（$\frac{3}{2}$，2），
把E（$\frac{3}{2}$，2）代入y=kx中得：2=$\frac{3}{2}$k，
k=$\frac{4}{3}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了对称、旋转的性质，平行四边形的性质和判定，利用待定系数法求正比例函数关系式，图形与坐标特点，熟练掌握轴对称的性质和坐标与图形特点是本题的关键，并注意数形结合的思想．