Question

9．如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S_△BEG．

Answer 1

分析 （1）作GM⊥BE于M．首先证明EG=GB，∠MGB=∠MGE，再证明∠ABE=∠MGB即可．
（2）求出BE、GM即可解决问题．

解答 解：（1）作GM⊥BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠A=∠ABC=∠BMG=90°，AD∥BG，
∵∠AEB=∠BEG，∠AEB=∠EBG，
∴∠BEG=∠EBG，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴∠MGB=∠MBE，BM=EM，
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠EBG+∠MGB=90°，
∴∠ABE=∠MGB=$\frac{1}{2}$∠EGB．

（2）在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，∴BM=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵∠ABE=∠MGB，∠A=∠GMB=90°，
∴△ABE∽△MGB，
∴$\frac{MG}{AB}$=$\frac{BM}{AE}$，
∴$\frac{MG}{4}$=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{1}$，
∴GM=2$\sqrt{17}$，
∴S_△EBG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×2$\sqrt{17}$=17．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．