Question

3．如图，在锐角三角形ABC中，BC=2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=4，∠ABC=45°，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．

解答 解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴M′E=M′N′，
∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=2，∠ABC=45°，
∴CE=BC•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴CM+MN的最小值是$\sqrt{2}$．
故答案是：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．