Question

12．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD边上的点，且△AEF是等边三角形，若BE=1cm，则正方形ABCD的边长是2+$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 在AB上取一点M使得AM=ME，先证明△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF=15°，再在RT△BME中求出EM、EB即可解决问题．

解答 解：如图，在AB上取一点M使得AM=ME，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
在RT△ABE和RT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=15°，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA=15°，
∴∠EMB=30°，
在RT△EMB中，∵∠B=90°，BE=1，∠EMB=30°，
∴AM=ME=2BE=2，BM=$\sqrt{3}$，
∴AB=AM+BM=2+$\sqrt{3}$．
故答案为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造30度的直角三角形，学会出现15度角想到这个添加辅助线方法，属于中考常考题型．