Question

为解方程x⁴-5x²+4=0，我们可以将x²视为一个整体，然后设x²=y，则x⁴=y²，
原方程化为y²-5y+4=0．①
解得y₁=1，y₂=4
当y=1时，x²=1．∴x=±1
当y=4时，x²=4，∴x=±2．
∴原方程的解为x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2
解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用

 

法达到了降次的目的，体现了

 

的数学思想．
（2）解方程：（x²-2x）²+x²-2x-6=0．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程

专题：阅读型

分析：（1）根据换元法的定义得到例题中使用了换元法，把四次降为2次，这体现了转化的数学思想；
（2）设x²-2x=t，则原方程化为t²+t-6=0，解得t₁=-3，t₂=2，再分别解方程x²-2x=-3和x²-2x=2，然后写出原方程的解．

解答：解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为换元，转化；
（2）设x²-2x=t，
原方程化为t²+t-6=0，解得t₁=-3，t₂=2，
当t=-3时，x²-2x=-3，即x²-2x+3=0，此方程无实数解；
当t=2时，x²-2x=2，解得x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
所以原方程的解为x₁=1+

3

，x₂=1-

3

．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程：把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．