Question

6．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，点E为垂足．若cosB=$\frac{12}{13}$，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是$\frac{120}{13}$．

Answer 1

分析 根据垂线段最短可知当EP⊥AB时，线段EP最短．根据$\frac{1}{2}$•AB•PE=$\frac{1}{2}$×BE×AE，只要求出AB、AE、BE即可解决问题．

解答 解：根据垂线段最短可知当EP⊥AB时，线段EP最短．
∵AE⊥BC于E，cosB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{12}{13}$，
设BE=12k，AB=BC=13k，则EC=k，
∵EC=2，
∴k=2，
∴BE=24，AB=26，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=10，
当EP⊥AB时，$\frac{1}{2}$•AB•PE=$\frac{1}{2}$×BE×AE，
∴PE=$\frac{120}{13}$．
∴线段PE的最小值为$\frac{120}{13}$．
故答案为$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．