Question

2．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，且AC平分∠BAD．
（1）求证：BC=CD；
（2）若AB=4，BC=CD=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由于∠ACB=∠ADB=90°，所以A、B、C、D四点共圆，由于∠DAC=∠BAC，由于圆周角定理可知BC=CD
（2）设AB的中点为O，由（1）可知：A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理可知：AB该圆的直径，所以O为圆心，利用勾股定理可求出BE的长度，然后再利用垂径定理求出BD的长度，最后再利用勾股定理即可求出AD的长度．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC
∴由圆周角定理可知：CD=BC，
（2）设AB的中点为O，连接OC交BD于点E，
由（1）可知：A、B、C、D四点共圆，
由圆周角定理可知：AB该圆的直径，所以O为圆心，
∴OC为半径，
∴OC=2，
又∵BC=CD，
∴由垂径定理可知：OC⊥BD，
设CE=x，
∴OE=2-x，
由勾股定理可知：2²-（2-x）²=1²-x²，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴BE²=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由垂径定理可知：BD=2BE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴在Rt△ABD中，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明A、B、C、D四点共圆，然后利用垂径定理和勾股定理求出BE的长度，本题属于中等题型．