Question

19．x₁、x₂是方程x²+ax+b=0的两根，若△=8，并且$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，求此方程的两个根．

Answer 1

分析 首先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，结合△=8和$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$列出$\frac{16{a}^{2}}{49}$=$\frac{4b}{3}$①和a²-4b=8②两个方程，解方程求出a和b的值，进而求出方程的两个根．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²+ax+b=0的两根，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3}{4}$，
∴4x₁=3x₂，
∴$\frac{3}{4}$x₂+x₂=-a，则x₂=$\frac{-4a}{7}$，即x₂²=$\frac{16{a}^{2}}{49}$，
∴$\frac{3}{4}$x₂²=b，
∴$\frac{16{a}^{2}}{49}$=$\frac{4b}{3}$①，
∵△=8，
∴a²-4b=8②，
由①②解得：a=±14$\sqrt{2}$，b=96，
当a=14$\sqrt{2}$时，
x=$\frac{-14\sqrt{2}±2\sqrt{2}}{2}$，即x=-8$\sqrt{2}$或-6$\sqrt{2}$，
当a=-14$\sqrt{2}$时，
x=$\frac{14\sqrt{2}±2\sqrt{2}}{2}$，即x=8$\sqrt{2}$或6$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系以及根的判别式的知识，解答本题的关键是列出a和b的两个关系式，此题计算稍微有些麻烦，但是难度不大．