Question

17．如图，正△ABC的边长是2，分别以点B、C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当$\sqrt{2}≤r＜2$时，S的取值范围是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-1
• C． 1≤S＜$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}≤S$$＜2\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．

解答 解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
设∠DCG=θ，则由题意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（$\frac{θπ{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{r}^{2}-1}$）=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∴S=$\frac{θπ•{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．
当r=$\sqrt{2}$时，DG=$\sqrt{{r}^{2}-1}$=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=$\frac{45π•（\sqrt{2}）^{2}}{180}$-$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{π}{2}$-1；
若r=2，则DG=$\sqrt{{r}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=$\frac{60π×{2}^{2}}{180}$-$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
∴S的取值范围是：$\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$-1≤S＜$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性．