Question

18．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，求
（1）∠BOC 的度数；
（2）⊙O的半径；
（3）AB+CD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OE，证明Rt△OAB≌Rt△OEB，由此可得∠ABO=∠OBE，再由平行的性质即可求解∠BOC 的度数；
（2）由勾股定理求得BC，再由三角形的面积求得⊙O的半径．
（3）利用（1）中所得AB=BE、CE=CD即可．

解答 解：（1）连接OA，OE．
∵直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，
∴OA⊥AB，OE⊥BC，
∴∠OAB=∠OEB=90°，OA=OE
在Rt△OAB 与Rt△OEB中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OB=OB}\end{array}\right.$
∴Rt△OAB≌Rt△OEB（HL）
∴∠ABO=∠OBE，AB=BE
同理可证：∠OCE=∠OCD，CE=CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°
（2）在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=10
∴$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$BC•r
r=$\frac{6×8}{10}$=4.8
即：⊙O的半径为4.8
（3）由（1）可知：
AB=BE，CE=CD，
∴AB+CD=BE+CE=BC=10
即：BC的值为10

点评 本题考查了切线的性质，解题的关键是证明Rt△OAB≌Rt△OEB由此得出∠ABO=∠OBE