Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC边上的中点，过D点分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE+DF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）当点D为BC上任意一点，其余条件不变时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，两式相加即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．
（2）先作辅助线，构造含30°角的直角三角形，求得CG=$\frac{1}{2}$BC，再根据面积法，求得DE+DF=CG，最后得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$（BD+DC）=$\frac{1}{2}$BC．
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

（2）DE+DF=$\frac{1}{2}$BC成立．
理由：过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于G，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∴Rt△BCG中，CG=$\frac{1}{2}$BC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$×AB×DE+$\frac{1}{2}$×AC×DF=$\frac{1}{2}$×AB×CG，
∴DE+DF=CG，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．