Question

4．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点P是AC的中点．

（1）当∠A=30°且点M、N分别在线段AB、BC上时，∠MPN=90°，请在图1中将图形补充完整，并且直接写出PM与PN的比值；
（2）当∠A=23°且点M、N分别在线段AB、BC的延长线上时，（1）中的其他条件不变，请写出PM与PN比值的思路．

Answer 1

分析 （1）补充图形如图1所示，过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，得到四边形PEBF是矩形，根据矩形的性质得到PE∥BC，PF∥AB，根据三角形的中位线的性质得到PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF，∠PFC=90°进而得到∠A=∠FPC；根据全等三角形的性质得到AE=PF；根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）补充图形如图1所示，过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∵P是AC的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠A=30°，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△PEM∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）思路：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
由PF⊥BC和∠ABC=90°可以得到AB∥PF，∠PFC=90°进而得到
∠A=∠FPC；由∠PFC=∠AEP=90°，AP=PC可以得到
△AEP≌△PFC，进而推出AE=PF；
由点P处的两个直角可以得到∠EPM=∠FPN，
进而可以得到△MEP∽△NPF，由此可以得到$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PN}{PM}$
等量代换可以得到$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$；在Rt△AEP中$tan∠A=\frac{PE}{AE}$，可以得到$\frac{PM}{PN}=tan23°$．
解：点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
则四边形PEBF是矩形，
∴PF∥AB，∠EPF=90°，
∴∠A=∠CPF=23°，
在△AEP与△PFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CPF}\\{∠AEP=∠PFC}\\{AP=PC}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△PFC，
∴AE=PF，
∵∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∴△MEP∽△NPF，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PN}{PM}$，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{AE}$，
∵tan∠A=$\frac{PE}{AE}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=tan23°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．