Question

16．对于平面直角坐标系中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．己知P（1，2），Q（4，2）．
（1）在A（0，3），B（-1，-1），C（-1，0），D（$\frac{13}{3}$，4）中，PQ的“等高点”是C、D；
（2）若M′（5，4）为PQ的“等高点”，则此时PQ的“等高距离”是3$\sqrt{5}$；
（3）若M（m，4）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知PQ在直线y=2上，分别求A、B、C、D到直线y=2的距离即可判断，可求得答案；
（2）由勾股定理分别求M′P和M′Q，即可求得答案；
（3）由题意可知点M在直线y=4上，可求得Q点关于y=4的对称点Q′的坐标，连接PQ′交直线y=4于点M，由轴对称的性质可知点M即为所求，由勾股定理可求得PQ′的长，及此时M点的坐标，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵P（1，2），Q（4，2），
∴PQ在直线y=2上，
∵A（0，3），B（-1，-1），C（-1，0），D（$\frac{13}{3}$，4），
∴A到PQ的距离为1，B到PQ的距离为3，C到PQ的距离为2，D到PQ的距离为2，
∴PQ的等高点为C、D，
故答案为：C、D；

（2）∵P（1，2），Q（4，2），M′（5，4），
∴M′P=$\sqrt{（5-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，M′Q=$\sqrt{（5-4）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴M′P+M′Q=2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，即PQ的等高距离为3$\sqrt{5}$，
故答案为：3$\sqrt{5}$；

（3）∵M（m，4），
∴点M在直线y=4上，
设点Q关于直线y=4的对称点为Q′，则Q′（4，6），
连接PQ′，交直线y=4于点M，如图，
则MQ=MQ′，
∴MP+MQ=MP+MQ′=PQ′，此时点M即为满足条件的点，

设直线PQ′的解析式为y=kx+b，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{6=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PQ′的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
把M点坐标代入可得4=$\frac{4}{3}$m+$\frac{2}{3}$，解得m=$\frac{5}{2}$，
且PQ′=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PQ的“等高距离”的最小值为5，此时m的值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识．在（1）、（2）中理解等高点和等高距离的概念即可，在（3）中利用轴对称的性质确定出点M的位置是解题的关键．本题考查知识较基础，综合性较强，难度适中．