Question

9．如图，二次函数y=ax²-2ax+3（a≠0）的图象与x、y轴交于A、B、C三点，
其中AB=4，连接BC．
（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；
（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
（3）当0≤x≤t时，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴x=1，AB=4，可得A（-1，0），B（3，0），利用待定系数法即可解决问题．
（2）由直线BC的解析式为y=-x+3，设M（m，-m+3），则N（m，-m²+2m+3），推出NM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，根据二次函数的性质即可解决问题．
（3）求出抛物线的顶点坐标，观察好像图象，即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数解析式为y=ax²-2ax+3，
∴对称轴x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
把（-1，0）代入二次函数的解析式得到a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）∵直线BC的解析式为y=-x+3，设M（m，-m+3），
则N（m，-m²+2m+3），
∴NM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标（1，4），
∵y=3时3=-x²+2x+3，解得x=0或2，
∴0≤x≤t时，则3≤y≤4，
∴结合图象可知，1≤t≤2．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法确定函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．