Question

9．如图，?ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切
（1）求证：弧AB=弧AC
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E=$\frac{12}{13}$，求tan∠D的值

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA交BC于F．只要证明OF⊥BC即可解决问题．
（2）如图2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，连接AC．首先证明BE=AB=AC，$\widehat{EA}$=$\widehat{CB}$，推出∠E=∠ACE，在Rt△BEM中，sin∠E=$\frac{12}{13}$，设BE=13m，则BM=12m，EM=5m，在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E=$\frac{12}{13}$，AC=EB=13m，则CN=5m，由四边形BMNA是平行四边形，推出MN=AB=EB=13m，推出CM=18m，推出tan∠BCE=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{12m}{18m}$=$\frac{2}{3}$，可得tan∠D=$\frac{2}{3}$．

解答 （1）证明：连接OA交BC于F．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠CFO，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠OFC=90°，
∴OF⊥BC，
∴OA平分$\widehat{BC}$，
即$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$．

（2）解：如图2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=∠BCE，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{CA}$，
∵$\widehat{BA}$=$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{CA}$=$\widehat{BA}$，
∴BE=AB=AC，$\widehat{EA}$=$\widehat{CB}$，
∴∠E=∠ACE，
在Rt△BEM中，sin∠E=$\frac{12}{13}$，设BE=13m，则BM=12m，EM=5m，
在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E=$\frac{12}{13}$，AC=EB=13m，则CN=5m，
∵BM=CN，BM∥CN，
∴四边形BMNA是平行四边形，
∴MN=AB=EB=13m，
∴CM=18m，
∴tan∠BCE=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{12m}{18m}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠D=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、平行四边形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．