题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
考点：一元二次方程的应用
专题：几何动点问题
分析：以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
解答：解：如图1，当PB=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=
1
2
BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴EQ=8-
1
2
t，
∴EC=8-
1
2
t+t=8+
1
2
t．
∴2t=8+
1
2
t．
解得：t=
16
3
．
当PQ=BQ时，如图2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ=
t2+144
．
16-t=
t2+144
，
解得：t=
7
2
；
当BP=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=
1
2
BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴BE=8-
1
2
t，
∴PB=
-8t+
1
4
t2+208
．
∴16-t=
-8t+
1
4
t2+208
．
解得：t1=16+8
3
，t2=16-8
3

∵0＜t≤10.5
∴t=16-8
3
．
综上所述，t=
16
3
，
7
2
或16-8
3
时以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
点评：本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
练习册系列答案
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3
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