Question

7．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，以坐标平面内任意一点M（a，b）为圆心，半径为r作圆，点P（x，y）在⊙M上，则必有（x-a）²+（y-b）²=r²．
尝试证明：为了证明阅读材料上的结论，小明作了辅助线：过点M和点P分别作x轴、y轴的平行线，两平行线交于点N可得点N的坐标是（x，b）（用字母表示），完成小明的证明过程．
结论应用：如图2，点A、B、C均在坐标轴上，OB=OC=OA=4，过A、O、B作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE．
（1）当线段CE经过点D时，求点E的坐标；
（2）在点E的运动过程中，线段CE和线段BE的长度随之变化，试求CE²+BE²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 尝试证明：直接点的坐标的特点即可得出结论；
结论应用：（1）先确定出⊙D的解析式，再确定出直线CE解析式，联立方程组即可得出点E坐标；
（2）设出点E坐标，进而表示出CE²+BE²，再根据极值确定出点E的坐标即可求出最大值和最小值．

解答 解：尝试证明：∵MN∥x轴，
∴点N的纵坐标和点M的纵坐标相同，是b，
∵PN∥y轴，
∴点N的横坐标和点P的横坐标相同，是x，
∴N（x，b）；
故答案为（x，b）．
结论应用：（1）如图，

∵点A、B、C均在坐标轴上，OB=OC=OA=4，
∴A（0，4），B（4，0），C（-4，0）；
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵过A、O、B作⊙D，
∴D（2，2），
∴（x-2）²+（y-2）²=8①．
∵线段CE经过点D（2，2），C（-4，0），
∴直线CE解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{6\sqrt{5}}{5}}\\{y=2+\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{6\sqrt{5}}{5}}\\{y=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$（由于线段CE过点D，所以舍去），
∴E（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
（2）设点E的坐标为（m，n）
，∵点E在⊙D上，
∴（m-2）²+（n-2）²=8，
∴m²+n²=4（m+n）③，
∵B（4，0），C（-4，0），
∴CE²+BE²=（m+4）²+n²+（m-4）²+n²=2（m²+n²）+32
∴m²+n²是表示⊙D上的任意一个点E到原点的距离，
∴当点E（0，0）时，CE²+BE²最小值为32，
当点E是射线OD和⊙D的交点时，
∵D（2，2），∴直线OD解析式为y=x，
∴m=n，将m=n代入③得，m=n=4，
∴CE²+BE²最大值为96．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，平面坐标系内，两点间的距离公式，解方程组，极值确定，求出点E坐标是解本题的关键，确定出CE²+BE²的极值是解本题的难点．