Question

6．如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），
B（4，0）与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（Ⅱ）求△BCD的面积；
（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点D的坐标；
（Ⅱ）先求出直线BC解析式，进而用三角形的面积公式即可得出结论．
（Ⅲ）首先确定直线CD的解析式以及点E，F的坐标，若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当x=-8时（与点E横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段EF有公共点，那么该函数值应不大于点E的纵坐标．当x=4时（与点F的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位．

解答 解：（Ⅰ）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，顶点D（1，9）；
（Ⅱ）如图1，

∵抛物线的解析式：y=-x²+2x+8，
∴C（0，8），
∵B（4，0），
∴直线BC解析式为y=-2x+8，
∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），
∴S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×3=6．
（Ⅲ）如图2，

∵C（0，8），D（1，9）；
代入直线解析式y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=x+8，
∴E点坐标为：（-8，0），
∵B（4，0），
∴x=4时，y=4+8=12
∴F点坐标为：（4，12），
设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），
则抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+9+m；
当x=-8时，y=m-72，
当x=4时，y=m，
∴m-72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴抛物线最多向上平移72个单位．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、四边形的内角和、解直角三角形等综合知识．最后一个小题要结合图形来进行解答，若题目没有明确“向上平移”，该题就需要进行分类讨论，要注意解题方法的总结和拓展．